Question

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是

x= 3 t y=t- 3 4

（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin²θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（　　）

• A、

  30

  3

• B、6
• C、12
• D、7

  3

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y²=3x焦点F（

3

4

，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x₁+x₂，代入焦点弦公式求值即可．

解答： 解：由

x= 3 t y=t- 3 4

（t为参数）得，直线l普通方程是：y=

3

3

x-

3

4

，
由ρsin²θ=3cosθ得，ρ²sin²θ=3ρcosθ，即y²=3x，
则抛物线y²=3x的焦点是F（

3

4

，0），
所以直线l过抛物线y²=3x焦点F（

3

4

，0），
设直线l与曲线C交于点A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），
由

y= 3 3 x- 3 4 y2=3x

得，16x²-168x+9=0，
所以△＞0，且x₁+x₂=

168

16

，
所以|AB|=x₁+x₂+p=

168

16

+

3

2

=12，
故选：C．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题．