Question

已知函数f（x）=x³+2ax²+x+3．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若x∈（-∞，-1]时，不等f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求导f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），由导数的正负确定函数的单调性；
（2）由题意，必有f（-1）=-1+2a-1+3≤0，从而可得a≤-

1

2

；在a≤-

1

2

的条件下讨论f′（x）在（-∞，-1]上的正负，从而确定函数的单调性，从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
当x∈（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-1，-

1

3

）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）上是增函数，在（-1，-

1

3

）是减函数；
（2）∵在x∈（-∞，-1]时，不等式f（x）≤0恒成立，
∴f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
∴a≤-

1

2

；
而f′（x）=3x²+4ax+1，
若△＜0，则f′（x）＞0；
若△≥0，则由韦达定理可知，
f′（x）=0的两个根都大于0；
故当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0恒成立；
故f（x）在（-∞，-1]上是增函数，
故在x∈（-∞，-1]时，不等式f（x）≤0恒成立可化为
f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
即a≤-

1

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，第二问比较难，属于难题．