Question

设函数f（x）=

2ax3

1+|x|

（a＞0，x∈R），已知区间A=[

m2

2

，

n2

2

]（m＜n），集合B={f（x）|m≤x≤n}，则使得A=B成立的实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞

  1

  4

• B、a≤

  1

  4

• C、0＜a≤

  5

  4

• D、0＜a＜

  5

  4

Answer 1

考点：集合的相等

专题：函数的性质及应用

分析：先想办法去掉函数中的绝对值符号，然后再进一步研究函数的单调性，从而构造出关于m，n的方程（组），最终转化为方程的根的个数判断问题．

解答： 解：当x＞0时，f(x)=

2ax3

1+x

，结合a＞0得f′(x)=

6ax2+4ax3

(1+x)2

＞0．
所以函数f（x）在（0，+∞）上递增．
结合函数f（x）是奇函数，且f（0）=0．
所以f（x）在R上是增函数．
则结合已知A=B可得

f(m)= m2 2 f(n)= n2 2

，化简得

4a=1+|m| 4a=1+|n|

．
则问题即为方程4a=1+|x|有两个互异实根．
所以只需a＞

1

4

即可．
故选A

点评：本题考查了利用函数的单调性来解决集合相等的问题，关键是对题意的正确理解．