Question

（必做题）已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当a＞1时，f（x）的单调增区间为

 

．
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，则t的值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）先求原函数的导数得：f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，得到f′（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f′（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t即得．

解答： 解：（1）当a＞1时，
f′（x）=lna•a^x+2x-lna
=lna（a^x-1）+2x；
当x＞0时，f′（x）＞0；
当x＜0时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
（2）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f′（x）在R上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0；
所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：

又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2．
故答案为：（0，+∞），2．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的问题，属于中档题．