已知数列A:x1.x2.x3.-xn.满足xi∈{0.1}．定义变换T(A):T将数列A中原有的每个“1 都变成“0.1 .原有的每个“0 都变成“1.0 .顺序保持不变．若数列A0:1.0.Ak+1=T(Ak).规定Ak中连续两项都是1的数对(1.1)的个数为ak.连续两项是1.0的有序数对(1.0)的个数为bk．(1)求数列A1.A2,(2)分别写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数列A：x₁，x₂，x₃，…x_n，满足x_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n）．定义变换T（A）：T将数列A中原有的每个“1”都变成“0，1”，原有的每个“0”都变成“1，0”，顺序保持不变．若数列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k）（k=0，1，2，…），规定A_k中连续两项都是1的数对（1，1）的个数为a_k，连续两项是1，0的有序数对（1，0）的个数为b_k．
（1）求数列A₁，A₂；
（2）分别写出a_k+1与b_k，b_k+1与a_k满足的关系式（只需写出结果）；
（3）求a_k的表达式．

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）已知数列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k），当k=0时，A₁=T（A₀），根据变换可得：A₁．A₂．
（2）由A₀：1，0，可得b₀=1，a₀=0；由A₁：0，1，1，0，可得b₁=1，a₁=1；依此类推可得：b₂=3，a₂=1；b₃=5，a₃=3；b₄=11，a₄=5．…，由以上观察到：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
（3）由（1）可得：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．可得ak+2=ak+2k，对k分奇数与偶数讨论即可得出．

解答： 解：（1）已知数列A₀：1，0，A_k+1=T（A_k），
当k=0时，A₁=T（A₀），
根据变换可得：A₁=0，1，1，0．
A₂=1，0，0，1，0，1，1，0．
（2）∵A₀：1，0，∴b₀=1，a₀=0；
∴A₁：0，1，1，0，∴b₁=1，a₁=1；
A₂：1，0，0，1，0，1，1，0．∴b₂=3，a₂=1；
A₃：0，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，b₃=5，a₃=3；
A₄：1，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0．∴b₄=11，a₄=5．
…，
由以上观察到：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
（3）由（1）可得：a_k+1=b_k，b_k+1=a_k+2^k．其中b₀=1，a₀=0．k∈N．
可得ak+2=ak+2k，
当k为偶数时，a2=a0+20，a₄=a₂+2²，a6=a4+24，…，a2n=a2n-2+22n-2，
∴a_2n=a₀+1+2²+…+2^2n-2=0+1+2²+…+2^2n-2=

4n-1

4-1

(4n-1)，
∴a2n=