Question

已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，点M在椭圆E上．
（Ⅰ）若∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）设直线x=my+c与椭圆E交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆E的切线l₁，l₂，且l₁与l₂交于点R，试问：当m变化时，点R是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，?推导出cos∠F₁MF₂=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=0，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）当m变化时，点R恒在一条定直线x=

a2

c

上．先证明椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M（x₀，y₀）的切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，由此能够证明当m变化时，点R恒在一条定直线上．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁（-c，0）、F₂（c，0）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，
点M在椭圆E上，∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，?
|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴cos∠F₁MF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

[|PF1|+|PF2|]2-2|PF1|•|PF2|-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=0，
∴a²=2b²=2c²，∴a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）当m变化时，点R恒在一条定直线x=

a2

c

上．
证明：先证明椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M（x₀，y₀）的切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
当x₀y₀≠0时，设切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
与椭圆方程联立并整理，得：
（b²+a²k²）x²+2a²k（y₀-kx₀）x+a²（y₀-kx₀）²-a²b²=0，
由△=0及

x02

a2

+

y02

b2

=1，得（

ay0

b

k+

bx0

a

）²=0，
∴k=-

b2x0

a2y0

，
∴切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则l₁的方程是

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，
l₂的方程是

x   2 x

a2

+

y2y

b2

=1，
联立方程组，解得x=

a2(y2-y1)

x1y2-x2y1

，
又∵x₁=my₁+c，x₂=my₂+1，
∴x₁y₂-x₂y₁=（my₁+c）y₂-（my₂+c）y₁-c（y₂-y₁），
∴xR=

a2(y2-y1)

x1y2-x2y1

=

a2

c

，当m变化时，点R恒在一条定直线上，

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查点是否恒在一条直线上的证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，