题目内容

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是
 
．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用双曲线的简单性质求出直线方程，求出三角形三个顶点的坐标，利用余弦定理求得cos∠BDF的值．
解答： 解答：解：由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），
c
a
=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程为
x
-a
+
y
b
=1，即bx-ay+ab=0，
DC的方程为 
x
-c
+
y
-b
=1，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由
bx-ax=ab=0
bx+2ay+2ab=0
，
得 D（-
4a
3
，-
b
3
），又 b=
c2-a2
=
3
a，
∴FD=
(-c+
4
3
a)2+
b2
9
=
7a2
9
，
BD=
(-a+
4
3
a)2+
b2
9
=
4a2
9
，
三角形BDF中，由余弦定理得 a2=
7
9
a2+
4
9
a2-2
7
9
a2
•
4
9
a2
cos∠BDF，
∴cos∠BDF=
7
14
．
故答案为：
7
14
．
点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理和双曲线简单性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知F1（-c，0）、F2（c，0）是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点，点M在椭圆E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是
π
2
，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）设直线x=my+c与椭圆E交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆E的切线l1，l2，且l1与l2交于点R，试问：当m变化时，点R是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由．
已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为
3
5
5
，点P是直线x=
a2
3
上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，证明点H恒在一条定直线上．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点（
2
，
6
2
）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B分别是椭圆C的左右顶点，直线经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，直线AP交于点M，设直线OM，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
已知∠BAC在平面α内，PA是α的斜线，若∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，PA=a，则点P到α的距离是
 
．
已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时f（x）=x2-2x，若关于x的方程f（x）=a有且仅有2个解，则实数a等于
 
．
给出下列五个命题：
①若
AB
=
DC
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB
|
+
AC
|AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|AC|
=
1
2
，则△ABC为等边三角形；
③已知向量
a
=(-2，1)，
b
=(-3，0)，则
a
在
b
方向上的投影为2；
④y=sin|x|的周期为π；
⑤若向量
m
∥
n
，
n
∥
k
，则向量
m
∥
k
．
其中不正确的命题是
 
．
已知变量x，y满足条件
x≥0
y≤-x+3
y≥2x
，则
y
x-2
的取值范围是
 
．
若平面区域Ω：
2x-y+2≥0
y-2≤0
y≥k(x+1)
的面积为3，则实数k的值为（　　）
A、
1
3
B、
1
2
C、
4
5
D、
3
2

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网