Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，左、右两个焦点分别为F₁、F₂，且抛物线y²=4

3

x与该椭圆有一个共同的焦点，点P在椭圆C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=

7

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设D（

3

2

，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点，若以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出c=

3

，|F₁F₂|=2

3

，从而得到|PF₂|=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB为：y=k（x-

3

），联立

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=4

3

x的焦点坐标F（

3

，0），∴c=

3

，
∴|F₁F₂|=2

3

，
∵|PF₁|=

7

2

，PF₂⊥F₁F₂，
∴|PF₂|=

( 7 2 )2-(2 3 )2

=

1

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴b=

22-( 3 )2

=1，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB为：y=k（x-

3

），
联立

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

，
消去y，并整理，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，
y1+y2=k(

x

1

+x2)-2

3

k=-

2 3

1+4k2

，
∵AD=BD，
∴(x1-

3

2

)2+y12=(x2-

3

2

)2+y22，

y2-y1

x2-x1

=-

x1+x2- 3

y1+y2

=

4k2-1

2k

=k，
解得k=±

2

2

，
∴直线AB为y=±

2

2

（x-

3

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查推理论证能力，考查综合应用能力，解题时要熟练掌握椭圆性质．