题目内容

已知对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
则把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=x2，x∈[0，+∞）符合条件②的区间[a，b]；
（2）是否存在函数f（x）=kx+b（k≠0）在R内为闭函数，且[1，2]为满足条件②的区间？若存在，求出f（x），若不存在，请说明理由．
考点：函数的值域
专题：新定义,函数的性质及应用
分析：（1）根据闭函数的定义列出符合条件的方程组解出即可．（2）中因不知函数f（x）=kx+b（k≠0）的系数k的符号，需分k＞0和k＜0进行讨论．
解答： 解：（1）x∈[0，+∞）时，函数y=x2单调递增，
由题意得：
a=a2
b=b2
a＜b
，解得：a=0，b=1，
∴所求闭区间为：[0，1]．
（2）假设存在，对于函数f（x）=kx+b（k≠0），
当k＞0时是增函数，
由题意得：
k+b=1
2k+b=2
，解得：
k=1
b=0

∴存在函数f（x）=x．
当k＜0时是减函数，
由题意得：
k+b=2
2k+b=1
，解得：
k=-1
b=3
．
∴存在函数f（x）=-x+3．
点评：本题属于求函数值域的问题的范围，因给出一个新概念“闭函数”，只要正确理解了这一概念，很容易求出．
练习册系列答案
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1
x
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a
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a
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b
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m
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1
2
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n
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π
3
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OQ
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m
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OP
+
n
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m
?
OP
；
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1
4
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π
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3
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．

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