Question

设向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），定义一种向量积

a

?

b

=（a₁，a₂）?（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知向量

m

=（2，

1

2

），

n

=（

π

3

，0），点P（x₀，y₀）为y=sinx的图象上的动点，点Q（x，y）为y=f（x）的图象上的动点，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）请用x₀表示

m

?

OP

；
（Ⅱ）求y=f（x）的表达式并求它的周期；
（Ⅲ）把函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩小为原来的

1

4

倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．设函数h（x）=g（x）-t（t∈R），试讨论函数h（x）在区间[0，

π

2

]内的零点个数．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接根据所给新运算进行化简即可；
（Ⅱ）利用向量的相等，得到x₀，y₀与x，y之间的关系，然后建立关系式即可；
（Ⅲ）根据（Ⅱ），结合三角函数的图象与性质，分类讨论，确定零点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2，

1

2

），

OP

=（x₀，y₀），
∵点P（x₀，y₀）为y=sinx的图象上的动点，
∴y₀=sinx₀，
∴

m

?

OP

=（2x₀，

1

2

y₀）=（2x₀，

1

2

sinx₀）
（Ⅱ）∵

OQ

=

m

?

OP

+

n

所以(x ， y)=(2x0 ， 

1

2

sinx0)+(

π

3

，0)=(2x0+

π

3

 ， 

1

2

sinx0)，
因此

x=2x0+ π 3 y= 1 2 sinx0

即

x0= x- π 3 2 sinx0=2y

，
所以y=f(x)=

1

2

sin(

1

2

x-

π

6

)，它的周期为4π．         
（Ⅲ）g(x)=

1

2

sin(2x-

π

6

)在[0，

π

3

]上单调递增，在[

π

3

，

π

2

]上单调递减，
又g(0)=-

1

4

 ， g(

π

3

)=

1

2

 ， g(

π

2

)=

1

4

，
当t=

1

2

或-

1

4

≤t＜

1

4

时，函数h（x）在区间[0，

π

2

]内只有一个零点；
当

1

4

≤t＜

1

2

时，函数h（x）在区间[0，

π

2

]内有两个零点；
当t＜-

1

4

或t＞

1

4

时，函数h（x）在区间[0，

π

2

]内没有零点．

点评：本题综合考查向量的基本运算，三角函数的图象与性质，函数的零点等知识，属于中档题．