Question

四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．
（1）以向量

AB

方向为侧视方向，画出侧视图并标明长度（要求说明理由）；
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）（理科做，文不做）求面AMN与面NBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出以向量

AB

方向为侧视方向的侧视图为边长是1的正方形．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CN∥平面AMD．
（3）分别求出平面NBC的一个法向量和平面AMN的法向量，由此能求出面AMN与面NBC所成的锐二面角的余弦值．

解答： （1）解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
∴AB⊥面BCN，DC⊥面BCN，
∴以向量

AB

方向为侧视方向的侧视图为如图所示的边长是1的正方形．
（2）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
M（0，0，1），N（1，1，1），
∴

CN

=(1，0，1)，
∵DC⊥AD，DC⊥DM，AD∩∩DM=D，
∴DC⊥平面AMD，
∴平面AMD的一个法向量为

DC

=（0，1，0），
∵

DC

•

CN

=0，
∴CN∥平面AMD．
（3）解：∵平面NBC∥平面AMD，
∴平面NBC的一个法向量为

DC

=(0，1，0)，
设平面AMN的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AM

=(-1，0，1)，

AN

=(0，1，1)，
∴

n • AM =-x+z=0 n • AN =y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

n

，

CD

＞=

-1

3

=-

3

3

．
∴面AMN与面NBC所成的锐二面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查侧视图的作法，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．