Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点C（-1，0）且交椭圆Γ于A，B两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为2

3

，求出a，c，可求b，即可求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，结合椭圆Γ上存在点P（x₀，y₀）使得四边形OAPB为平行四边形，求出P的坐标，代入椭圆方程，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a=2，c=

3

，…（2分）
因为a²=b²+c²，所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆Γ的方程为  

x2

4

+y2=1；…（4分）
（Ⅱ）依题意得：直线y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
假设椭圆Γ上存在点P（x₀，y₀）使得四边形OAPB为平行四边形，则

x1+x2=x0 y1+y2=y0

．
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8k²x+4（k²-1）=0，…（6分）
所以x1+x2=

-8k2

1+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=k(

-8k2

1+4k2

+2)=

2k

1+4k2

．…（8分）
于是

x0= -8k2 1+4k2 y0= 2k 1+4k2

即点P的坐标为(

-8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)．    …（10分）
又点P在椭圆上，所以

( -8k2 1+4k2 )2

4

+(

2k

1+4k2

)2=1，整理得4k²+1=0，此方程无解．…（11分）
故椭圆Γ上不存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．  …（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．