题目内容
已知函数f（x）=x4+x3-ax2+a2只有唯一的极值点 则实数a的取值范围是 ．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：求f′（x）=4x3+3x2-2ax=x（4x2+3x-2a），函数f（x）=x4+x3-ax2+a2只有唯一的极值点即f′（x）只有一个零点附近有正有负，从而求解．
解答：
解：f′（x）=4x3+3x2-2ax=x（4x2+3x-2a），
若a=0，则f′（x）=x（4x2+3x）=x2（4x+3），
只有x=-
一个极值点，成立；
若a≠0，则若使函数f（x）=x4+x3-ax2+a2只有唯一的极值点，
则4x2+3x-2a=0无解或有两个相同的根，
则△=32+4×4×2a≤0，
则a≤-
；
综上所述，
a=0或a≤-
，
故答案为：a=0或a≤-
．
若a=0，则f′（x）=x（4x2+3x）=x2（4x+3），
只有x=-
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若a≠0，则若使函数f（x）=x4+x3-ax2+a2只有唯一的极值点，
则4x2+3x-2a=0无解或有两个相同的根，
则△=32+4×4×2a≤0，
则a≤-
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综上所述，
a=0或a≤-
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故答案为：a=0或a≤-
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点评：本题考查了函数的极值的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| ||
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|
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