Question

设函数f（x）对?x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：f（x）为奇函数、减函数；
（2）问在[-3，3]上，f（x）是否有最值？若有，求最值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；再令y=-x⇒f（-x）=-f（x）从而可证f（x）是奇函数；任取x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，利用单调性的定义判断函数f（x）的单调性；
（2）由（1）的单调性，和f（1）=-2，可求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： （1）证明：令x=y=0，知f（0）=0；
再令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）为R上的减函数；
（2）解：由于f（1）=-2．
则f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
即有f（-3）=-f（3）=6，
由f（x）为R上的减函数，则f（x）在[-3，3]上递减，且有f（-3）最大，f（3）最小．
∴f（x）_max=f（-3）=6，f（x）_min=f（3）=-6．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于中档题．