Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若

3

2

m²+m≤b_n，对所有n∈N₊都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1，得到a_n=2a_n-1，再由a₁=2，能求出数列{a_n} 的通项公式；
（2）由（1）知：b_n=（2n-1）•2ⁿ，运用错位相减法，即可得到T_n；
（3）

3

2

m²+m≤b_n，对所有n∈N₊都成立即为

3

2

m²+m≤（b_n）_min，判断数列数列{b_n}的单调性，求出最小值，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）∵3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），
∴3S_n-3S_n-1=5a_n-4a_n-1（n≥2），
∴3a_n=5a_n-4a_n-1，即有a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2，
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）中a_n=2ⁿ，则b_n=（2n-1）•2ⁿ，
T_n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+7•2⁵+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
两式相减得：-T_n=1•2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2^n-1+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
即有，-T_n=2+2•

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
则T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6；
（3）

3

2

m²+m≤b_n，对所有n∈N₊都成立即为

3

2

m²+m≤（b_n）_min，
而则b_n=（2n-1）•2ⁿ，则b_n+1=（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
即有

bn+1

bn

=

2(2n+1)

2n-1

=2+

4

2n-1

＞1，则数列{b_n}递增，
则有b₁最小，且为2．
则有

3

2

m²+m≤2，解得，

-1- 13

3

≤m≤

-1+ 13

3

．
故m的取值范围是：[

-1- 13

3

，

-1+ 13

3

]．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、运用数列的单调性的方法的灵活运用．