Question

已知点P(1，-

3

2

)在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（-1，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使

|AB|2

|MN|

为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线y=k（x-m）代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．

解答： 解：（1）椭圆C的左焦点为（1，0），∴c=1，椭圆C的右焦点为（-1，0）
可得2a=

(1+1)2+(- 3 2 )2

+

(1-1)2+(- 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4，解得a=2，…（2分）
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）设直线l：y=k（x-m），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-m)

得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2m

3+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-12

3+4k2

…（7分）
∴|MN|=

1+k2 • 16[(12-3m2)k2+9]

3+4k2

…（10分）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

得x2=

12

3+4k2

设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
得|AB|=

1+k2

|x3-x4|得|AB|2=

48(1+k2)

3+4k2

…（12分）
而64k⁴m²-16（3+4k²）（k²m²-3）=16[（12-3m²）k²+9]
∴当12-3m²=9即m=1时

|AB|2

|MM|

=4为定值，当k不存在时，定值也为4，
∴m=1…（15分）

点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．