Question

在直角坐标系xoy中，曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）首先求出曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点坐标，进一步利用三点的坐标用待定系数法，求出圆的一般式方程．
（2）根据（1）的结论x²+y²-6x-6y+5=0转化为标准式：（x-3）²+（y-3）²=13，进一步利用点（2，4）与圆心（3，3）的距离为

2

＜

13

，所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为-1，进一步求出k．从而求出直线方程为：x-y+2=0．进一步利用圆心（3，3）到直线的距离为：d=

|3-3+2|

2

=

2

，利用l²+d²=r²解得半弦长，从而求出弦长．

解答： 解：（1）曲线y=x²-6x+5与坐标轴x轴的交点
令x²-6x+5=0
解得：A（1，0），B（5，0）
与y轴的交点C（0，5）
设圆的一般式为：x²+y²+Dx+Ey+F=0
把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：

1+D+F=0 25+5D+F=0 25+5E+F=0

解得

D=-6 E=-6 F=5

圆的方程为：x²+y²-6x-6y+5=0
（2）根据（1）的结论x²+y²-6x-6y+5=0转化为标准式：（x-3）²+（y-3）²=13
点（2，4）与圆心（3，3）的距离为

2

＜

13

所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为-1．
所以k=1
进一步求出直线方程为：x-y+2=0．
所以圆心（3，3）到直线的距离为：d=

|3-3+2|

2

=

2

设半弦长为l
则：l²+d²=r²
解得：l=

11

则弦长为2l=2

11

点评：本题考查的知识要点：用待定系数法求圆的一般式，点与圆的位置关系的判定，最短弦与弦心距之间的关系及相关的运算问题．