Question

已知数列{a_n}{b_n}的每一项都是正数，a₁=4，b₁=8且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，a_n，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，b₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，都有

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得到2b₁=a₁+a₂，a22=b1b2，代入已知可得a₂，b₂的值；
（Ⅱ）由已知得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bnbn+1，进一步得到当n≥2时an=

bn-1bn

，三式联立即可得到数列{

bn

}是等差数列，求出其通项后可得数列{b_n}的通项公式，结合an=

bn-1bn

得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）把{a_n}的通项公式代入

1

an-1

并整理，放大后列项，代入

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

证得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n，b_n，a_n+1成等差数列，a_n，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
得：2b₁=a₁+a₂，a22=b1b2，
∵a₁=4，b₁=8，
∴a₂=2b₁-a₁=12，
b2=

a22

b1

=18；
（Ⅱ）∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1…①．
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴an+12=bnbn+1，
∵数列{a_n}，{b_n}的每一项都是正数，
∴an+1=

bnbn+1

…②．
于是当n≥2时，an=

bn-1bn

…③．
将②、③代入①式，可得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
因此数列{

bn

}是首项为2

2

，公差为

2

的等差数列．
∴

bn

=2

2

+

2

（n-1）=

2

(n+1)，
则bn=2(n+1)2．
由③式，可得当n≥2时，an=

bn-1bn

=2n(n+1)．
当n=1时，a₁=4，满足该式子，
∴对一切正整数n，都有a_n=2n（n+1）；
（Ⅲ）证明：由（2）可知，所证明的不等式为

1

3

+

1

11

+

1

23

+…+

1

2n2+2n-1

＜

2

3

．
∵

1

2n2+2n-1

=

1

2

1

n2+n- 1 2

＜

1

2

1

n2+n-2

=

1

2

1

(n-1)(n+2)

=

1

6

(

1

n-1

-

1

n+2

)  （n≥2），
∴当n≥2时，

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

3

+

1

6

(

1

1

-

1

4

+

1

2

-

1

5

+

1

3

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+2

)＜

1

3

+

1

6

(1+

1

2

+

1

3

)=

23

36

＜

2

3

．
当n=1时，

1

3

＜

2

3

．
综上所述，对一切正整数n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等差数列与等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明不等式，属难题．