Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l₁，l₂分别是曲线y=f（x）的两条不同的切线．
（1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1时f（x）有极小值为-4．
（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直线l₃亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l₁，l₂，l₃交于点G（m，4），求实数m的取值范围；
（2）若直线l₁∥l₂，直线l₁与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直线l₂和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，求（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）（i）由函数为奇函数求得b，再由当x=1时f（x）有极小值为-4列式求出a，c的值；
（ii）设（x₀，y₀）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，由此得到y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程结合f′（-1）=0，f（-1）=4，可知y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）．再设另两条切线切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），求出直线l₁和l₂的方程，令y=4求得m=

2(x12-x1+1)

3(x1-1)

且m=

2(x22-x2+1)

3(x2-1)

，可知x₁，x₂是方程m=

2(x2-x+1)

3(x-1)

的两解，然后构造辅助函数，再利用导数求出m的取值范围；
（2）令x_B=x₁，x_C=x₂，由直线l₁∥l₂得到两点横坐标的关系，再通过求解方程组求得点D和点A的坐标，得到（x_A-x_B），（x_B-x_C），（x_C-x_D），则答案可求．

解答： 解：（1）（i）∵x∈R，f（x）为奇函数，
∴f（0）=d=0，f（-x）=-f（x），即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx，
∴b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
则f′（x）=3ax²+c，
又当x=1时f（x）有极小值为-4，
∴

f′(1)=0 f(1)=-4

，即

3a+c=0 a+c=-4

，
解得：

a=2 c=-6

，
即f（x）=2x³-6x，
经检验f（x）=2x³-6x满足题意．
∴a=2，c=-6，b=d=0；
（ii）设（x₀，y₀）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，
则曲线y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y=(6x02-6)(x-x0)+y0，
即y=(6x02-6)x-4x03，显然过某一点的切线最多有三条；
又f′（-1）=0，f（-1）=4，
∴y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）；
设另两条切线切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁≠1，x₂≠1且x₁≠x₂，
∴不妨设直线l₁的方程为y=(6x12-6)x-4x13，直线l₂的方程为y=(6x22-6)x-4x23，
令y=4并化简得3m(x12-1)=2(x13+1)，3m(x22-1)=2(x22+1)，
则m=

2(x12-x1+1)

3(x1-1)

且m=

2(x22-x2+1)

3(x2-1)

，
∴x₁，x₂是方程m=

2(x2-x+1)

3(x-1)

的两解，
令g(x)=

2(x2-x+1)

3(x-1)

=

2

3

(x-1+

1

x-1

+1)，
则g′(x)=

2

3

(1-

1

(x-1)2

)，
令g′（x）=0得x=2或0，
∴当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0；
当0＜x＜1或1＜x＜2时，g′（x）＜0；
又g(0)=-

2

3

，g（2）=2，
故当x＜0时，g（x）的值域为（-∞，-

2

3

），
当0≤x＜1时，g（x）的值域为（-∞，-

2

3

]，
当1＜x＜2时，g（x）的值域为（2，+∞），当x＞2时，g（x）的值域为[2，+∞），
又当x=-1时，g（-1）=-1，
因此m∈(-∞，-1)∪(-1，-

2

3

)∪(2，+∞)；
（2）令x_B=x₁，x_C=x₂，由f′（x）=3ax²+2bx+c及l₁∥l₂得：
3ax12+2bx1+c=3ax22+2bx2+c，
∴3a（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2b（x₂-x₁），
由x₁≠x₂，得x1+x2=-

2b

3a

，
即x2=-x1-

2b

3a

；                                 
将y=(3ax12+2bx1+c)(x-x1)+y1与y=f（x）联立化简得
ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+2ax13+bx12=0，
∴a(x-x1)2(x+2x1+

b

a

)=0，∴xD=-2x1-

b

a

，
同理xA=-2x2-

b

a

=2x1+

b

3a

，
∴xA-xB=x1+

b

3a

，xB-xC=2x1+

2b

3a

，xC-xD=x1+

b

3a

，
∴（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，解答该题要求学生具有较强的运算能力，是难度较大的题目．