Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，

OA

+

OB

与

a

=（2，-1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），证明λ²+μ²-

2

3

λμ为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量的基本定理及其意义

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线AB的方程为y=x-c与椭圆方程联立可得根与系数的关系．由

OA

+

OB

与

a

=（2，-1）共线，及离心率计算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出；
（2）由（1）可得椭圆的方程为：x²+2y²=2b²，设

OM

=(x，y)，利用向量的坐标运算

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），可得M，代入椭圆方程即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由焦点F（c，0），则直线AB的方程为y=x-c．
代入椭圆方程化简得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

．
由

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

a

=（2，-1），

OA

+

OB

与

a

=（2，-1）共线，
可得2（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，
又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴2（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x1+x2=

4c

3

，

2a2c

a2+b2

=

4c

3

，
∴a²=2b²，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

．
（2）证明：由（1）可得椭圆的方程为：x²+2y²=2b²，
设

OM

=(x，y)，
∵

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），
∴（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

，
∵点M在椭圆上，
∴(λx1+μx2)2+2(λy1+μy2)2=2b2，
化为λ2(

x

2 1

+2

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+2

y

2 2

)+2λμ(x1x2+2y1y2)=2b2（*）．
由（1）可知：x1+x2=

4c

3

，a²=2b²=2c²，
∴x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

=0，
∴x₁x₂+2y₁y₂=2（x₁-c）（x₂-c）=-2(x1+x2)c+2c2=-

8

3

c2+2c2=-

2c2

3

，
又

x

2 1

+2

y

2 1

=2b²，

x

2 2

+

y

2 2

=2b2，
代入（*）可得λ2+μ2-

2

3

λμ=1，为定值．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．