Question

已知点P（1，2）是抛物线y²=2px上一点，过点P作斜率分别为k，-

1

k

的直线l₁，l₂分别交抛物线于异于P的A，B两点，点Q（5，-2）．
（1）当l₁，l₂的斜率分别为2与-

1

2

时，判断直线AB是否经过点Q；
（2）当△PAB的面积等于32

2

时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）求出抛物线方程，利用当l₁，l₂的斜率分别为2与-

1

2

时，求出直线的方程，通过直线方程与抛物线方程联立求出AB坐标，得到AB的方程，即可判断直线AB是否经过点Q；
（2）利用直线PA的斜率不为0，写出直线方程与抛物线联立，求出A的坐标同理得到B的坐标，求出AB的斜率，设出AB的方程，求出AB的距离，P到AB的距离，利用三角形的面积公式等于△PAB的面积等于32

2

，即可求直线AB的方程．

解答： 解：（1）点P（1，2）是抛物线y²=2px上一点，代入可得p=2，
即抛物线y²=4x．

y=2x y2=4x

⇒A（0，0），

y=- 1 2 x+ 5 2 y2=4x

⇒B（25，-10）．
AB：y=-

2

5

x经过点Q．
（2）显然k≠0.

y-2=k(x-1) y2=4x

⇒y2-

4

k

y+

8

k

-4=0
∴A(

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2)．
同理，

y-2=- 1 k (x-1) y2=4x

⇒y²+4ky-8k-4=0
∴B（4k²+4k+1，-4k-2）
∴kAB=-

1

k2+k+1

=kAQ

，

直线A经过点Q，
当k=

-1± 5

2

时，结论成立，
又由△＞0得k≠±1．
设直线AB：m（y+2）x-5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=m(y+2)+5 y2=4x

⇒y²-4my-8m-20=0，△＞0恒成立，
得

y1y2=-8m-20 y1+y2=4m

，
由△PAB的面积等于32

2

，
得

1

2

•

|4+4m|

1+m2

•

1+m2

16m2+32m+80

=32

2

∴|1+m|

m2+2m+5

=4

2

，
解得（m+1）²=4由m=1⇒k=0或k=-1舍去，
∴m=-3
∴直线AB的方程为：x+3y+1=0．

点评：熟练掌握直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线方程联立消去一个未知数后得到的一元二次方程的根与系数的关系，直线方程的设法是解题的关键．