Question

已知各项为正数的等差数列{a_n}满足a₃•a₇=32，a₂+a₈=12，且b_n=2-an（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，可得a₂+a₈=a₃+a₇=12，解方程组

a3•a7=32 a3+a7=12

，利用a_n＞0，可求得d=1，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由于c_n=a_n+b_n=（n+1）+(

1

2

)n+1，利用分组求和即可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n} 是等差数列，∴a₂+a₈=a₃+a₇=12，

a3•a7=32 a3+a7=12

⇒

a3=4 a7=8

，或

a3=8 a7=4

，…（4分）
又a_n＞0，∴

a3=4 a7=8

，
解得d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=2-an=(

1

2

)n+1，
∴c_n=a_n+b_n=（n+1）+(

1

2

)n+1，
∴S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）          …（9分）
=[2+3+…+（n+1）]+[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]
=

n(2+n+1)

2

+

( 1 2 )2(1-( 1 2 )n)

1-( 1 2 )

=

n(n+3)

2

+

2n-1

2n+1

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的性质，着重考查分组求和法的应用，考查方程思想与等价转化思想的应用，属于中档题．