Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）解不等式：f（

1

x-1

）＞0；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有x∈[-1，1]，任意p∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁、x₂两数使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，进而根据函数为奇函数推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），让f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，进而判断出f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知：

1

x-1

∈(0，1]，进而可解得x的范围．
（3）根据函数的单调性知f（x）最大值为f（1）=1，所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，只需m（m-2p）≥0成立．根据p的不同取值进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，
由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
若f（

1

x-1

）＞0=f（0），
则

1

x-1

∈(0，1]，
解得1＜x≤2，
故不等式的解集为（1，2]，
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义，难度中档．