Question

定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）≤0，且y=f（x）为偶函数，当|x₁|＜|x₂|时，有（　　）

• A、f（x₁）＞f（x₂）
• B、f（x₁）=f（x₂）
• C、f（x₁）＜f（x₂）
• D、f（|x₂|）＞f（x₁）

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，得函数f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数；又y=f（x）为偶函数，得函数f（x）的图象关于直线y对称；由|x₁|＜|x₂|f（|x₁|）＞f（|x₂|），由于f（|x₂|）=f（x₂）即得结论．

解答： 解：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，
根据导数与函数单调性的关系得函数f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数；
又y=f（x）为偶函数，
所以f（x）=f（-x），
得函数f（x）的图象关于直线y对称；
由|x₁|＜|x₂|，
所以f（|x₁|）＞f（|x₂|），
由f（|x|）=f（x）
即f（x₁）＞f（x₂），
故选：A

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，运用奇偶性等量关系求解，转化为在区间[0，+∞）上为减函数判断．