Question

若实数x₀满足f（x₀）=x₀，则称x=x₀为f（x）的不动点．已知函数f（x）=x³+bx+3，其中b为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若存在一个实数x₀，使得x=x₀既是f（x）的不动点，又是f（x）的极值点．求实数b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）根据函数不动点的定义及函数极值的意义，列出方程组解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）因f（x）=x³+bx+3，故f′（x）=3x²+b． 
当b≥0时，显然f（x）在R上单增； 
当b＜0时，x＞

- b 3

或x＜-

- b 3

． 
所以，当b≥0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当b＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-

- b 3

），（

- b 3

，+∞）；
（Ⅱ）由条件知

3 x 2 0 +b=0 x 3 0 +bx0+3=x0

，于是2

x

3 0

+x₀-3=0，
即（x₀-1）（2

x

2 0

+2x0+3）=0，解得x₀=1，
从而b=-3．

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的极值的意义及不动点的定义的运用，属于中档题．