Question

已知

a

=（sinx，cosx）、

b

=（sinx，3cosx）、

c

=（-cosx，-sinx），f（x）=

a

•（

b

-

c

）．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）f（x）按向量（

π

6

，1）平移后得到g（x），求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用数量积公式得；f（x）=

a

•（

b

-

c

）=1+2cos²x+2sinxcosx=

2

sin（2x+

π

4

）+2，再根据三角函数的单调性求解即可．（2）根据三角函数的性质解不等式
-

π

2

+2πk≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，-

5π

12

+2πk≤2x≤2kπ+

7π

12

，k∈z，即可得出解集．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，cosx）、

b

=（sinx，3cosx）、

c

=（-cosx，-sinx），
∴f（x）=

a

•（

b

-

c

）=1+2cos²x+2sinxcosx=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴函数f（x）的最大值为

2

，最小正周期π；
（2）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2
∵按向量（

π

6

，1）平移后得到g（x），
∴g（x）=

2

sin（2x-

π

12

）+3，
∵-

π

2

+2πk≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
∴-

5π

12

+2πk≤2x≤2kπ+

7π

12

，k∈z，
所以g（x）的单调递增区间[-

5π

12

+2πk，2kπ+

7π

12

]，k∈z，

点评：本题考查了三角函数和向量的数量积的运算，难度不是很大，属于中档题．