Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则下列结论正确的有

 

．
①

b

a

+

a

b

＞2；
②ab的最大值为

1

4

；
③a²+b²的最小值为

1

2

；
④

1

a

+

4

b

的最大值为9；
⑤a（2b-1）的最大值为

1

8

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：由已知的条件分别利用基本不等式及二次函数最值的求法分别判断5个命题得答案．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
对于①，

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2．①错误；
对于②，∵1=a+b≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

．即ab的最大值为

1

4

．②正确；
对于③，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-

1

2

=

1

2

．
∴a²+b²的最小值为

1

2

．命题③正确；
对于④，

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(a+b)=1+

b

a

+4+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9．
当且仅当

2a=b a+b=1

，即a=

1

3

，b=

2

3

时上式取等号．命题④正确；
对于⑤，a（2b-1）=（1-b）（2b-1）=-2b²+3b-1，
当b=

3

4

，a=

1

4

时，a（2b-1）的最大值为

5

8

．命题⑤错误．
故正确的命题是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本不等式的用法，考查了学生的逻辑思维能力，是中档题．