Question

对于函数f（x）=e^x-e^-x的叙述正确的是

 

．（填正确序号）
（1）f（x）为奇函数           
（2）f（x）为增函数
（3）f（x）在x=0处取极值   
（4）f（x）的图象关于点（0，1）对称．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意，f（x）的定义域为R，可求得f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数，故（1）正确，（4）不正确；
由e^x是增函数，e^-x是减函数，借助函数的四则运算知函数f（x）=e^x-e^-x是增函数，故（2）正确，（3）不正确．

解答： 解：f（x）的定义域为R，
f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数，从而（1）正确；
∵e^x是增函数，e^-x是减函数，
∴函数f（x）=e^x-e^-x是增函数，
故（2）正确；
∵函数f（x）=e^x-e^-x是增函数，故f（x）在x=0处无极值；故（3）不正确；
由（1）知，f（x）的图象不可能关于点（0，1）对称，故（4）不正确；
故答案为：（1）（2）．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断，及通过函数的导数求函数的单调性及极值的步骤，属于中档题．