Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，其中n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

nan-4

nan

（n∈N^*），在（1）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，当n≥2时，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，由此能求出t=1．
（2）由（1）得a_n=3^n-1，从而c_n=

nan-4

nan

=

n•3n-1-1

n•3n-1

=1-

4

n•3n-1

，由此能求出数列{c_n}的“积异号数”为1．

解答： 解：（1）由题意，当n≥2时，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列，
要使n≥1时，{a_n}是等比数列，
则只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，
解得t=1．
（2）由（1）得等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比为q=3，
∴a_n=3^n-1，
∴c_n=

nan-4

nan

=

n•3n-1-1

n•3n-1

=1-

4

n•3n-1

，
∵c₁=1-

4

1

=-3，c₂=1-

4

2×3

=

1

3

，
∴c₁c₂=-1＜0，
∵c_n+1-c_n=

4

n•3n-1

-

4

(n+1)•3n

=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0，
∴{c_n}递增，由c₂=

1

3

＞0，得n≥2时，c_n＞0，
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．

点评：本题考查实数t的值，数列{c_n}的“积异号数”的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．