Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a、b是方程x²-11x+12=0的两个根，且3cos（A+B）+2=0．求：
（1）△ABC的面积 
（2）c的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由3cos（A+B）+2=0可得cos（A+B）=-

2

3

，进而可得sinC=sin（A+B）=

5

3

，cosC=

2

3

，由韦达定理可得ab=12，代入三角形的△ABC的面积S=

1

2

absinC计算可得；（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-

4

3

ab，代入数据开方可得．

解答： 解：（1）∵3cos（A+B）+2=0，∴cos（A+B）=-

2

3

，
∴sin（A+B）=

1-cos2(A+B)

=

5

3

，
∴sinC=sin（A+B）=

5

3

，cosC=

2

3

∵a、b是方程x²-11x+12=0的两个根，
∴由韦达定理可得a+b=11，ab=12，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=2

5

；
（2）由（1）知a+b=11，ab=12，cosC=

2

3

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-

4

3

ab
=（a+b）²-

10

3

ab=121-40=81，解得c=9．

点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和韦达定理以及三角形的面积公式，属基础题．