Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，并且经过定点P（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，并且经过定点P（

3

，

1

2

），建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=-x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0，即可求m值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：e=

c

a

=

3

2

，且

3

a2

+

1

4b2

=1，
解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1------------------（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由题意得

x2 4 +y2=1 y=-x+m

⇒x2+4(m-x)2-4=0⇒5x2-8mx+4m2-4=0（*）
所以x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

--------------------------------------------------（7分）y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2-m(x1+x2)+x1x2=m2-

8

5

m2+

4m2-4

5

=

m2-4

5

--------（9分）
由OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0
得(x1，y1)•(x2，y2)=0，x1x2+y1y2=0，

4m2-4

5

+

m2-4

5

=0，m=±

2 10

5

----------（11分）
又方程（*）要有两个不等实根，△=(-8m)2-4×5(4m2-4)＞0，-

5

＜m＜

5

m的值符合上面条件，所以m=±

2 10

5

------------------------------------------（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．