Question

13．已知角A为锐角，则f（A）=$\frac{[cos（π-2A）-1]sin（π+\frac{A}{2}）sin（\frac{π}{2}-\frac{A}{2}）}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}-\frac{A}{2}）-si{n}^{2}（π-\frac{A}{2}）}$+cos²A的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简f（A）的解析式，再利用正弦函数的值域，求得f（A）的最大值．

解答 解：∵角A为锐角，则f（A）=$\frac{[cos（π-2A）-1]sin（π+\frac{A}{2}）sin（\frac{π}{2}-\frac{A}{2}）}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}-\frac{A}{2}）-si{n}^{2}（π-\frac{A}{2}）}$+cos²A=$\frac{[-cos2A-1]•（-sin\frac{A}{2}）•cos\frac{A}{2}}{{cos}^{2}\frac{A}{2}{-sin}^{2}\frac{A}{2}}$+cos²A
=$\frac{-{2cos}^{2}A•（-\frac{1}{2}）sinA}{cosA}$+cos²A=sinAcosA+cos²A=$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{1+cos2A}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
故f（A）的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．