Question

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD=$\sqrt{DE•DB}$；
（2）若CD=2$\sqrt{6}$，点O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）根据等弧所对的圆周角相等可以得出∠CBD=∠ECD，再有∠CDB=∠EDC，从而可得出△BCD～△CED，这样便可得到DC²=DE•DB，而DC=AD，从而得出$AD=\sqrt{DE•DB}$；
（2）可连接OC，OD，并设OD交AC于F，可说明OD⊥AC，这样在Rt△OCF中有r²=CF²+1，从而在Rt△DCF中可以得到r²-1+（r-1）²=24，解该方程便可得出⊙O的半径r值．

解答 解：（1）证明：D是$\widehat{AC}$的中点；
∴∠ABD=∠CBD；
又∠ABD=∠ECD；
∴∠CBD=∠ECD；
又∠CDB=∠EDC；
∴△BCD～△CED；
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{DB}{DC}$；
∴DC²=DE•DB；
∵DC=AD；
∴AD²=DE•DB；
∴$AD=\sqrt{DE•DB}$；
（2）如图，连接OD，OC，设OD交AC于点F；
∵D是$\widehat{AC}$的中点；
∴OD⊥AC；
在Rt△OCF中，OF=1，OC=r，则：r²=CF²+1；
∴CF²=r²-1；
在Rt△DCF中，$CD=2\sqrt{6}，DF=r-1$，则：r²-1+（r-1）²=24；
解得r=4，或-3（舍去）．

点评 考查等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判断及对应边的比例关系，直角三角形的边的关系，以及解一元二次方程．