题目内容

2．如图，在△ABC中，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若$\overrightarrow{AP}=m\vec a+n\vec b$，则m、n对应的值为 （　　）
A．$\frac{2}{7}，\frac{4}{7}$B．$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{6}，\frac{2}{7}$D．$\frac{1}{6}，\frac{3}{7}$

分析 根据向量减法及数乘的几何意义可以得出$\overrightarrow{BQ}=（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CR}=（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+（\frac{n}{4}-1）\overrightarrow{b}$，这样便可以求出$\overrightarrow{RQ}，\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{RP}$，这样根据$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$，并进行向量的数乘运算便得到$（\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow{b}=（-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow{b}$，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}（m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}）-\overrightarrow{a}=（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{BR}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}[（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}]-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$=$（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+（\frac{n}{4}-1）\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{QP}=\frac{m}{2}\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{RQ}=（\frac{m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{n}{4}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{RP}=-（\frac{m}{8}+\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow{b}$；
∵$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$；
∴$（\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow{b}=（-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}}\\{\frac{3n}{4}=\frac{1}{2}-\frac{n}{8}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{7}}\\{n=\frac{4}{7}}\end{array}\right.$．
故选：A．

点评 考查向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．

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