Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁+a₅=0，a₁₁=16．
（I）在各项均为正的等比数列{b_n}中，b₁=2且b${\;}_{{a}_{5}}$=4b${\;}_{{a}_{4}}$，求b_n；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{S}_{n}+6n}$，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的通项公式求出公差和首项，从得到在各项均为正的等比数列{b_n}中$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{{b}_{4}=4{b}_{2}}\end{array}\right.$，由此能求出等比数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出c_n=$\frac{1}{{S}_{n}+6n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂项求和法能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁+a₅=0，a₁₁=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}+4d=0}\\{{a}_{1}+10d=16}\end{array}\right.$，解得a₁=-4，d=2，
∴a₅=-4+4×2=4，a₄=-4+3×2=2，
∵在各项均为正的等比数列{b_n}中，b₁=2且b${\;}_{{a}_{5}}$=4b${\;}_{{a}_{4}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{{b}_{4}=4{b}_{2}}\end{array}\right.$，∴2q³=4×2q，
∵各项均为正，∴q＞0，由此解得q=2，
∴${b}_{n}={2}^{n}$．
（Ⅱ）∵a₁=-4，d=2，∴${S}_{n}=-4n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-5n，
∴c_n=$\frac{1}{{S}_{n}+6n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}$
=1-$\frac{1}{21}$
=$\frac{20}{21}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查前20项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．