Question

17．已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对任意的a，b∈（-1，1）都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求f（0）的值，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（$\frac{1}{2}$）=-1，当x∈[-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$]时，f（x）≤m²-2am+2对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，a=b=0求出f（0）的值，令a=x，b=-x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可．
（2）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．
（3）求出函数f（x）的最大值，利用参数分类法，进行求解即可．

解答 解：（1）令a=b=0，则f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0，
令a=x，b=-x，则由f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$），得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上单调递减．
（3）∵当x∈[-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$]时，函数f（x）为减函数，
∴此时函数的最大值为f（-$\frac{4}{5}$）=-f（$\frac{4}{5}$），
∵f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=$f（\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}）$=f（$\frac{1}{\frac{5}{4}}$）=f（$\frac{4}{5}$）=-1-1=-2，
即函数的最大值为f（-$\frac{4}{5}$）=-f（$\frac{4}{5}$）=2，
若f（x）≤m²-2am+2对所有的a∈[-1，1]恒成立，
即2≤m²-2am+2对所有的a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0对所有的a∈[-1，1]恒成立，
设h（a）=m²-2am=-2ma+m²，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（1）={m}^{2}-2m≥0}\\{h（-1）={m}^{2}+2m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2或m≤0}\\{m≥0或m≤-2}\end{array}\right.$，
得m≥2或m≤-2或m=0．

点评 本题以抽象函数的性质为载体，考查函数的单调性，考查单调性与奇偶性的结合，同时考查了恒成立问题，利用赋值法是解决本题的关键．