题目内容
19．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：| 测试指标 | [70，76） | [76，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 元件A | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元．
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．
分析 （Ⅰ）由检测结果统计利用等可能事件概率计算公式能求出元件A、元件B为正品的概率．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（ii）生产5件元件B所获得的利润不少于300元包含两种情况：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．
解答 解：（Ⅰ）由题意知元件A为正品的概率为p1=$\frac{40+32+8}{100}$=$\frac{4}{5}$，
元件B为正品的概率为${p}_{2}=\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30．
由题意可得P（X=150）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$，
P（X=90）=$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=30）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=-30）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$，
∴X的分布列为：
| X | 150 | 90 | 30 | -30 |
| P | $\frac{3}{5}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{20}$ |
（ii）生产5件元件B所获得的利润不少于300元包含两种情况：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，
∴生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率：
p=${C}_{5}^{5}（\frac{3}{4}）^{5}+{C}_{5}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}（\frac{1}{4}）$=$\frac{567}{1024}$．
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
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