Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，F（x）=f（x）-g（x）
（1）a=2，x∈[0，3]，求F（x）的值域
（2）a＞2，解关于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）分当x∈[0，1）时、x∈[1，3]时两种情况，分别利用函数的单调性求得函数的值域，综合可得结论．
（2）由a＞2，不等式即 x²-1≥a|x-1|，再分①若x≥1、②若x＜1两种情况，分别去掉绝对值，解一元二次不等式，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）a=2，x∈[0，3]，F（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2|x-1|，
当x∈[0，1）时，F（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4是增函数，函数的值域为[-3，0）；
x∈[1，3]时，F（x）=x²+2x-3=（x-1）² 是增函数，函数的值域为[0，4]．
综上，在[0，3]上，F（x）的值域为[-3，4]．
（2）∵a＞2，关于x的不等式F（x）≥0，即 x²-1≥a|x-1|，
①若x≥1，不等式即 x²-ax+a-1≥0，即[x-（a-1）]（x-1）≥0．
由于a-1＞1，解得x≥a-1，或x≤1，
综合可得x≥a-1．
②若x＜1，不等式即 x²-1≥a（1-x），即  x²+ax-a-1≥0，即[x+（a+1）]（x-1）≥0，
由于a+1＞3，解得x≤-a-1，或x≥1，
综合可得x≤-a-1．
综合①②可得，原不等式的解集为：{x|x≤-a-1，或 x≥a-1}．

点评：本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．