Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=2

6

，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．

解答： 解：由题意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为

1

2

32+42+(2 6 )2

=

7

2

，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是4πR²=4×

49

4

π=49π．
故答案为：49π．

点评：本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，关键是由组合体的位置关系得到球的半径，考查学生空间想象能力，是基础题．