Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，

AC

AB

=

cosB

cosC

，求A的大小．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）根据三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，从而求得它的周期．
（II）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求得C=

π

3

．在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinB

sinC

=

cosB

cosC

，化简可得sin（B-C）=0，从而B-C=0，从而求得A的值．

解答： 解：（I）函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
则f（x）的最小值是-2，最小正周期是

2π

2

=π．
（II）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，则sin（2C-

π

6

）=1，∵0＜C＜π，∴2C-

π

6

=

π

2

，C=

π

3

．
在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinB

sinC

=

cosB

cosC

．
于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．因为-π＜B-C＜π，从而B-C=0．
∴B=C=

π

3

，
∴以A=

π

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦定理、根据三角函数的值求角，属于中档题．