Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁•a₂=2，a₃•a₄=32．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn

2n-1

=a_n+1-1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知得解得

a1=1 q=2

求出an=2n-1；
（Ⅱ）由题意通过仿写作差求出

bn

2n-1

=2n-1进一步求出bn=(2n-1)2n-1，利用错位相减的方法求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知得

a12q=2 a12q5=32

…（2分）
又∵a₁＞0，q＞0，解得

a1=1 q=2

…（3分）
∴an=2n-1；…（5分）
（Ⅱ）由题意可得  

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn

2n-1

=2n-1

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn-1

2n-3

=2n-1-1，（n≥2）
两式相减得  

bn

2n-1

=2n-1，
∴bn=(2n-1)2n-1，（n≥2）…（7分）
当n=1时，b₁=1，符合上式，
∴bn=(2n-1)•2n-1，（n∈N^*）…（8分）
设Tn=1+3•21+5•22+…+(2n-1)•2n-1，
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n，…（10分）
两式相减得  -Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3，
∴Tn=(2n-3)2n+3．…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法、前n项和公式的求法；错位相减方法是求和方法中重要的方法，属于一道中档题．