Question

数列{a_n}的首项a₁=-20，a_n+a_n+1=3n-54，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值？

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）易求a₂=-31，则a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，两式作差，得a_n+2-a_n=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，分n为奇数、偶数分别求得；
（2）分n为偶数、奇数两种情况进行讨论，由等差数列求和公式分别求和，然后利用二次函数性质可得最值；

解答： 解：（1）a₁=-20，a₂=-31，
又a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，
则a_n+2-a_n=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，且公差均为3，
∴an=

3 2 n- 43 2 ，n为奇数 3 2 n-34，n为偶数

；
（2）当n为偶数，即n=2k时：Sn=-51k+

k(k-1)

2

×6=3(k-9)2-243，
∴S_n≥S₁₈=-243；
当n为奇数，即n=2k-1时：Sn=S2k-a2k=3(k-

19

2

)2-236

3

4

，
∴S_n≥S₁₇=S₁₉=-236，
∴（S_n）_min=S₁₈=-243．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和、等差数列通项公式及二次函数性质，考查分类讨论思想，属中档题．