Question

已知函数f（x）=2

3

asinxcosx+asin²x-acos²x+b，（a，b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[-

π

4

，

π

4

]时，函数f（x）的最大值为3，最小值为1-

3

，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数关系是进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步确定单调区间．
（2）对a进行分类讨论，利用单调性确定最值．

解答： 解：（1）因为f(x)=2

3

asinxcosx+asin2x-acos2x+b
=

3

asin2x-acos2x+b=2asin(2x-

π

6

)+b．   
由于a＞0，
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
且a＞0，所以函数f（x）的单调增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z． 
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
所以：2sin(2x-

π

4

)∈[-2，

3

]，
则当a＞0时，函数f（x）的最大值为

3

a+b，最小值为-2a+b．
所以

3 a+b=3 -2a+b=1- 3

解得a=1，b=3-

3

．   
当a＜0时，函数f（x）的最大值为-2a+b，最小值为

3

a+b．
所以

3 a+b=1- 3 -2a+b=3

解得a=-1，b=1．   
综上，a=1，b=3-

3

或a=-1，b=1．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定，函数的最值，分类讨论思想的应用．