Question

已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3^x+3^-x，a为常数，
（1）求a的值；
（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）若关于x的方程f（b）=f（|2^x-1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,证明题,数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）运用偶函数的定义，即可得到a=1；
（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；
（3）由偶函数和f（x）在[0，+∞）上是增函数，得到b=|2^x-1|和-b=|2^x-1|，通过函数y=±b和y=|2^x-1|
的图象即可得到所求范围．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）得a•3^-x+3^x=a•3^x+3^-x，
所以（a-1）（3^x-3^-x）=0对x∈R恒成立，
所以a=1；
（2）证明：由（1）得f（x）=3^x+3^-x，
任取m，n∈[0，+∞），且m＜n，
则f（m）-f（n）=3^m+3^-m-3ⁿ-3^-n=

(3m-3n)(3m+n-1)

3m+n

，
由0≤m＜n，得3^m-3ⁿ＜0，3^m+n＞0，3^m+n-1＞0
则f（m）-f（n）＜0即有f（m）＜f（n），
所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；          
（3）因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，又f（b）=f（|2^x-1|），
①当b≥0时，得b=|2^x-1|在R上有且只有一个实根，
所以函数y=b与y=|2^x-1|的图象有且只有一个交点，
由图象得b≥1或b=0；
②当b＜0时，得-b=|2^x-1|在R上有且只有一个实根，
所以函数y=-b与y=|2^x-1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≤-1
综上所述：b≤-1或b=0或b≥1．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查函数的单调性的判断及运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．