Question

已知函数f（x）=

2x-a

2x+1

为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）是R上的增函数；
（3）解不等式：f（log₂x）≤

3

5

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（0）=0即可得出；
（2）利用函数单调性的定义即可得出；
（3）令f（x）=

3

5

，解得x=2．于是f（log₂x）≤

3

5

即f（log₂x）≤f（2）．再利用函数的单调性即可得出．

解答： （1）解：f（x）的定义域为R．
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴a=1．
（2）证明：易得f（x）=1-

2

2x+1

．
设x₁∈R，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵2x1＜2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令f（x）=

3

5

，解得x=2．
∴f（log₂x）≤

3

5

即f（log₂x）≤f（2）．
∵f（x）为R上的增函数，
∴log₂x≤2．
∴0＜x≤4．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．