Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心，右焦点，右顶点及右准线与x轴的交点依次为O，F，G，H，则|

FG

OH

|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，所以|

FG

OH

|=

ac-c2

a2

=（

c

a

-

1

2

）²+

1

4

，根据

c

a

∈（0，1），可求出结论．

解答： 解：∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=

a2

c

，其中c²=a²-b²．
由此可得H（

a2

c

，0），|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，
∴|

FG

OH

|=

ac-c2

a2

=（

c

a

-

1

2

）²+

1

4

，
∵

c

a

∈（0，1），
∴当且仅当

c

a

=

1

2

时，|

FG

OH

|的最大值为

1

4

．
故答案为

1

4

．

点评：本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题．