Question

过抛物线y²=4x的焦点焦点F作倾斜角为α的直线，交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
（1）若α=45°，求线段AB的中点C到抛物线准线的距离；
（2）求证：y₁y₂=-4．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）tanα=1，可得直线AB的方程：y=x-2．与抛物线方程联立可得x²-8x+4=0，利用中点坐标公式可得x_C．即可得出线段AB的中点C到抛物线准线的距离d=x_C+1．
（2）直线的方程为：y=（x-1）tanα．与抛物线方程联立可得y2-

4

tanα

y-4=0，即可证明．

解答： （1）解：tanα=1，可得直线AB的方程：y=x-2．
联立

y=x-2 y2=4x

，化为x²-8x+4=0，
∴x₁+x₂=8=2x_C，
解得x_C=4．
∴线段AB的中点C到抛物线准线的距离d=4+1=5．
（2）证明：直线的方程为：y=（x-1）tanα．
联立

y=(x-1)tanα y2=4x

，化为y2-

4

tanα

y-4=0，
∴y₁y₂=-4．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．