Question

已知函数f(x)=sin(

7π

6

-2x)-2sin2x+1(x∈R)，
（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点(A，

1

2

)，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；
（2）通过函数f（x）的图象经过点(A，

1

2

)，b，a，c成等差数列，求出A以及列出abc的关系，利用

AB

•

AC

=9，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．

解答： 解：f(x)=sin(

7π

6

-2x)-2sin2x+1=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)…（3分）
（1）最小正周期：T=

2π

2

=π，…（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
所以f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；       …（6分）
（2）由f(A)=sin(2A+

π

6

)=

1

2

可得：2A+

π

6

=

π

6

+2kπ或

5π

6

+2kπ(k∈Z)
∴A=

π

3

，…（8分）
又∵b，a，c成等差数列，
∴2a=b+c，…（9分）
而

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc=9，
∴bc=18    …（10分）
∴cosA=

1

2

=

(b+c)2-a2

2bc

-1=

4a2-a2

36

-1=

a2

12

-1，
∴a=3

2

．…（12分）

点评：本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，基本知识的考查．