Question

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，且直线OA，OB的斜率之积为

1

2

，问是否存在直线l，使△AOB的面积的值为

2

2

？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆短轴长为2，离心率为

2

2

，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，及直线OA，OB的斜率之积为

1

2

，求出k，再利用△AOB的面积的值为

2

2

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆短轴长为2，离心率为

2

2

，
∴

b=1 a2-1 a = 2 2

，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

2k2+1

，
∵直线OA，OB的斜率之积为

1

2

，
∴

y1y2

x1x2

=

1

2

，
∴k=0，
∴y=m，x=±

2-2m2

，
∴△AOB的面积为

1

2

•|2x||m|=|m|•

2-2m2

，
∴|m|•

2-2m2

=

2

2

∴m=±

2

2

∴存在直线l：y=±

2

2

，使△AOB的面积的值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．