Question

在正数数列{a_n}中，S_n为a_n的前n项和，若点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

n2 nan+2

2n+1

，当c=2的时候，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由；
（3）设数列{c_n}满足c_n=

n，n=2k-1 2an，n=2k

，k∈N*，当c=

3

3

时候，在数列{c_n}中，是否存在连续的三项c_r，c_r+1，c_r+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数r的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，可得S_n=

c2-an

c-1

，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}为等比数列，求出a₁=c，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=

n2 nan+2

2n+1

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，化简，即可求出所有的m、n的值；
（3）分类讨论，若c_r=c_2k，不成立；若c_r=c_2k-1，可得k=3^k-1，令T_k=

k

3k-1

，则T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，
∴S_n=

c2-an

c-1

，
n≥2时，S_n-S_n-1=a_n=

an-1-an

c-1

，
∴（c-1）a_n=a_n-1-a_n，
∴

an

an-1

=

1

c

∴数列{a_n}为等比数列                                   2分
将（a₁，S₁）代入y=

c2-x

c-1

得，a₁=c                      3分
故a_n=(

1

c

)n-2                                          4分
（2）b_n=

n2 nan+2

2n+1

=

n

2n+1

．
若b₁，b_m，b_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

又m为正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12
∴当m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比数列          10分
（3）若c_r=c_2k，则由c_r+c_r+2=2c_r+1，得2•3^k-1+2•3^k=2（2k+1），
化简得4•3^k-1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．              12分
若c_r=c_2k-1，则由c_r+c_r+2=2c_r+1，得（2k-1）+（2k+1）=2•2•3^k-1
化简得k=3^k-1．                                                     14分
令T_k=

k

3k-1

，则T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0                 
因此，1=T₁＞T₂＞T₃＞…，
故只有T₁=1，此时r=2×1-1=1，
综上，在数列{c_n}中，仅存在连续的三项c_r，c_r+1，c_r+2，按原来的顺序成等差数列，此时正整数r=1.16分

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等比数列的判断，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．